Ohmsches Gesetz

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Messung von 41 Ohm an einer Glühlampe
Foto: Rainer Schwarz
Metrawatt Universalmessgerät Unigor 3s
Foto: Rainer Schwarz
Zusammenhänge im ohmschen Gesetz
Urheber: MovGP0
Briefmarke zur Entdeckung des ohmschen Gesetzes (Deutsche Bundespost, 1994). Foto Deutsche Bundespost

Als ohmsches Gesetz, benannt nach seinem Entdecker Georg Simon Ohm, wird der bei bestimmten elektrischen Leitern vorliegende lineare Zusammenhang zwischen Spannungsabfall U und hindurchfließendem elektrischen Strom I bezeichnet. Mathematisch wird diese Proportionalität als

(lies: U ist proportional zu I) formuliert. Die Proportionalitätskonstante wird dabei als elektrischer Widerstand bezeichnet und mit R notiert, womit sich die Gleichung


ergibt. Um die Proportionalität von Spannung und Stromstärke bei konstantem Widerstand zu betonen, schreibt man auch


Durch diese Gleichung wird der ohmsche Widerstand definiert, der ein wichtiger Sonderfall des allgemeineren elektrischen Widerstandes ist.


Feldstärke und Stromdichte

Den Widerstand eines Materials kann man bezüglich der geometrischen Abmessungen des Materials darstellen:


wobei l die Länge und A die Querschnittsfläche des betrachteten Leiters und rho der spezifische elektrische Widerstand ist. Zusätzlich gilt:

wobei der Einheitsvektor in Betrachtungsrichtung und bzw. die Vektoren der Breite bzw. Höhe des betrachteten Flächenelements ist (siehe Abbildung).

Dadurch lässt sich das ohmsche Gesetz folgendermaßen ausdrücken:

Mit

( bezeichnet jeweils den Einheitsvektor in die im Index angegebene Richtung) folgt daraus die Gleichung:

mit

Hierbei ist die elektrische Feldstärke, die elektrische Stromdichte und der spezifische elektrische Leitwert. Die elektrische Stromdichte wird hierbei in der Literatur auch mit oder bezeichnet.

Der spezifische elektrische Leitwert  – und folglich auch der spezifische elektrische Widerstand  – sind von der Feldstärke bzw. der Stromdichte abhängig. Ist diese Abhängigkeit im Betriebsbereich des Materials vernachlässigbar gering, so spricht man von einem linearen Leiter bzw. einem linear wirkenden Leiter.


mikroskopische Betrachtungsweise/​maxwellsche Materialgleichung

In einer mikroskopischen Betrachtung wird das ohmsche Gesetz durch den linearen Zusammenhang zwischen dem Stromdichte-Vektorfeld und dem elektrischen Feldstärke-Vektorfeld beschrieben, also

In isotropen Materialien kann der Tensor durch einen Skalar ersetzt werden, und es gilt:

Wenn man die Bewegung freier Elektronen wie die ungeordnete Molekülbewegung eines Gases betrachtet, kann man Konstanz der elektrischen Leitfähigkeit plausibel machen. Die Zähldichte der Elektronen ist dann innerhalb des Leiters konstant. Die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen ist

Die mittlere Wegstrecke zwischen zwei Stößen an Ionen im Metall wird in einer typischen Zeit zurückgelegt:

In dieser Zeit erfahren die Elektronen eine Beschleunigung durch das angelegte elektrische Feld mit

wobei die Elementarladung und die Elektronenmasse ist. Die Elektronen erreichen somit eine Driftgeschwindigkeit mit . Setzt man dieses in die Gleichung für ein, so erhält man:

Die Größen und hängen nur von der Geschwindigkeitsverteilung innerhalb der „Elektronenwolke“ ab. Da die Driftgeschwindigkeit aber ca. 10 Größenordnungen kleiner ist als die mittlere Geschwindigkeit , ändert sich die Geschwindigkeitsverteilung durch das Anlegen eines elektrischen Feldes nicht, und und und somit der ganze Ausdruck für sind konstant.


Gültigkeitsbereich

Das ohmsche Gesetz macht nur eine Aussage über das Verhältnis zwischen Strom und Spannung (bzw. zwischen Stromdichte und Feldstärke). Die Abhängigkeit des Stromflusses von weiteren Größen (Temperatur, Magnetfeld und Beleuchtung) wird durch das ohmsche Gesetz nicht beschrieben. Aus diesem Grund ist das ohmsche Gesetz nur eine Näherung, d. h., in der Realität ist der Stromfluss auch von den oben genannten Größen abhängig.

Zwischen Strom und Spannung gilt im Gleichstromfall für hysteresefreie, sprungstellenfreien Widerstände unter Vernachlässigung weiterer Umgebungsbedingungen:

(Potenzreihenentwicklung von im Punkt ).

Von Elektrischer Widerstand#Ohmscher Widerstand|ohmschen Widerstand spricht man, wenn alle Terme bis auf verschwinden bzw. bei dem gerade betrachteten Strombereich vernachlässigbar sind. Von differentiellem ohmschen Widerstand spricht man, wenn alle Terme bis auf und verschwinden. Bei großen Stromdichten sind alle Widerstände nicht mehr als ohmscher Widerstand approximierbar.

Obige Herleitung zeigt auch, dass das Gesetz wahrscheinlich nicht mehr gilt, wenn die Frequenz eines angelegten E-Feldes in die Nähe der Größe gelangt oder größer wird als das Inverse der mittleren Zeit zwischen zwei Stößen (siehe Plasmafrequenz).


Eselsbrücken

Als Merkhilfe der Formel wird in der Praxis oft der Schweizer Kanton Uri genutzt, da

Mit

U für die elektrische Spannung am Widerstand in der SI-Einheit Volt
R für den elektrischen Widerstand in der SI-Einheit Ohm
I für die elektrischen Strom im Widerstand in der SI-Einheit Ampere


Eine andere Merkhilfe zur Formelerstellung ist die zu eins umgestellte Formel

oder einfach


Damit kann sofort die passende Berechnungsformel eines fehlenden Größenwertes bestimmt werden.

Gebrauchsanleitung: Die gesuchte Größe mit einem Finger abdecken, Formel steht.


Weblinks



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